Кинематика - это раздел физики, который моделирует движение объектов, используя положение, скорость, ускорение и время.
Мы уже познакомились с уравнениями средней скорости и среднего ускорения. Эти уравнения полезны, но они не дают точных значений скорости или ускорения, только среднее значение.
На приведенном ниже графике зависимости положения от времени каждый путь из пункта А в пункт В имеет разное ускорение, но все они обладают некоторыми общими свойствами.
Пример: Сколько времени занимает каждый путь из пункта А в пункт В?решение
Все они занимают одинаковое время.
$$\Delta t = t_f - t_i$$ $$\Delta t = 50\,\mathrm{с}-5\,\mathrm{с}$$ $$\Delta t = 45\,\mathrm{с}$$Пример: Каково смещение перемещение для каждого пути.
решение
Каждый путь проходит разное расстояние, но все они имеют одинаковое смещение.
$$\Delta x = x_f - x_i$$ $$\Delta x = 25\,\mathrm{м}-5\,\mathrm{м}$$ $$\Delta x = 20\,\mathrm{м}$$Пример: Какова средняя скорость для каждого пути?
решение
Каждый путь заканчивается одинаковым общим перемещением за один и тот же промежуток времени. Это означает, что все они имеют одинаковую среднюю скорость.
Средняя скорость равна смещению, деленному на период времени.
$$v_{\mathrm{сред}} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$$ $$v_{\mathrm{сред}} = \frac{25\, \mathrm{м}-5\, \mathrm{м}}{50\, \mathrm{с}-5\, \mathrm{с}}$$ $$v_{\mathrm{сред}} = \frac{20\, \mathrm{м}}{45\, \mathrm{с}}$$ $$v_{\mathrm{сред}} = 0.\overline{44} \, \mathrm{\frac{м}{с}}$$Вопрос: Чем отличается каждый путь?
ответ
Каждый путь имеет свое:
Есть много способов перейти от пункта А к пункту В, но если ускорение имеет постоянное значение, график зависимости положения от времени представляет собой параболу.
Вопрос: Установите ускорение равным 0,05 м/с². Напишите краткое описание скорости объекта при его перемещении из точки А в точку В.ответ
(в положениях A и B по умолчанию)
Постоянное ускорение
Когда ускорение постоянно, мы можем предсказать положение и скорость в любой момент времени. Эти предсказания исходят из уравнений движения.
вывод уравнений движения
Первое уравнение - это уравнение среднего ускорения, измененное с учетом ускорения как постоянной величины.
$$a_{\mathrm{сред}} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$$ $$a = \frac{v - u}{\Delta t}$$ $$a \Delta t = v - u$$ $$\large \boxed{v = u + a \Delta t}$$Когда ускорение постоянно, скорость изменяется с постоянной скоростью. Это означает, что средняя скорость равна половине начальной скорости плюс конечная скорость.
$$v_{\mathrm{сред}} = \tfrac{1}{2}(v+u)$$ $$\frac{\Delta x}{\Delta t} = \tfrac{1}{2}(v+u)$$ $$ \boxed{ \Delta x = \tfrac{1}{2}(v+u)\Delta t}$$Дальше начинем со средней скорости для приведенного выше уравнения постоянного движения. Мы можем включить в это наше предыдущее уравнение, чтобы избавиться от конечной скорости.
$$v_{\mathrm{сред}} = \tfrac{1}{2}(v+u)$$ $$v_{\mathrm{сред}} = \tfrac{1}{2}((a \Delta t+u)+u)$$ $$v_{\mathrm{сред}} = u + \tfrac{1}{2}a \Delta t$$ $$\frac{\Delta x}{\Delta t} = {u + \tfrac{1}{2}a \Delta t}$$ $$ \boxed{ \Delta x = u\Delta t + \tfrac{1}{2}a \Delta t^2 }$$?тоговое уравнение получается, когда мы избавляемся от времени.
$$v = u + a \Delta t$$ $$\Delta t = \frac{v-u}{a}$$ $$\Delta x = u\Delta t + \tfrac{1}{2}a \Delta t^2 $$ $$\Delta x = u \left(\frac{v-u}{a}\right) + \tfrac{1}{2}a \left(\frac{v-u}{a}\right)^2 $$ $$a\Delta x = u(v-u)+ \tfrac{1}{2}(v-u)^2 $$ $$2a\Delta x = 2u(v-u)+ (v-u)^2 $$ $$2a\Delta x = (2uv-2u^2)+ (v^2 - 2uv + u^2) $$ $$2a\Delta x = v^2 - u^2 $$ $$ \boxed{u^2 = v^2 -2a\Delta x}$$$$v = u+a \Delta t$$ $$\Delta x = u\Delta t + \tfrac{1}{2}a \Delta t^{2}$$ $$\Delta x = \tfrac{1}{2}(v+u)\Delta t$$ $$v^{2} = u^{2}+2a \Delta x$$
\(\Delta x\) = перемещение [м] вектор
\(\Delta t\) = промежуток времени [с]
\(v\) = конечная скорость [м/с] вектор
\(u\) = начальная скорость [м/с] вектор
\(a\) = ускорение [м/с²] (константа) вектор
В каждом уравнении отсутствует одна из пяти переменных. Поиск недостающей переменной может помочь подобрать правильное уравнение для каждой ситуации.
Работа с несколькими уравнениями может быть сложной. Эти шаги могут помочь вам:
- Перечислите известные и неизвестные переменные.
- Выберите уравнение только с одной неизвестной переменной.
- ?спользуйте математические преобразования, чтобы переместить неизвестную переменную в одну часть уравнения.
- Замените известные переменные в уравнении их значениями и упростите полученное выражение.
- Проверьте, соответствует ли ваш ответ вашей интуиции и ожидаемым единицам измерения.
решение
перечислите известные и неизвестные переменные
$$u = 30 \, \mathrm{\tfrac{м}{с} }$$ $$v = 0 \, \mathrm{\tfrac{м}{с}}$$ $$\Delta x = 10 \, \mathrm{м}$$ $$a =\, ?$$определите соответствующее уравнение
$$v^{2} = u^{2}+2a \Delta x$$перенесите неизвестную в одну часть уравнения
$$v^{2} - u^{2}=2a \Delta x$$ $$\frac{v^{2} - u^{2}}{2 \Delta x}=a$$подставляем значения
$$\frac{0^{2} - (30 \, \tfrac{м}{с})^{2}}{2 (10 \, \mathrm{м})}=a$$ $$\frac{-900 \, \mathrm{\tfrac{м^2}{с^2}} }{20 \, \mathrm{м}}=a$$ $$-45 \mathrm{\tfrac{м}{с^{2}}}=a$$проверьте единицы измерения и послушайте интуицию
Автомобиль, быстро останавливающийся, должен иметь большое отрицательное ускорение. Единицы измерения указаны правильно для ускорения. Наш ответ выглядит хорошо!
ответ
Вопрос: При каких случаях ускорение НЕ постоянное?
ответ
решение
$$u = 400 \, \mathrm{\tfrac{м}{с}}$$ $$a = -9.8 \, \mathrm{\tfrac{м}{с^{2}}}$$ $$\Delta t = 40.8 \, \mathrm{с}$$ $$\Delta x =\, ?$$$$\Delta x = u\Delta t + \tfrac{1}{2} a \Delta t^{2}$$ $$\Delta x = (400\, \mathrm{\tfrac{м}{с}}) (40.8\, \mathrm{с}) + \tfrac{1}{2} (-9.8 \, \mathrm{\tfrac{м}{с^{2}}})(40.8 \, \mathrm{с})^{2}$$ $$\Delta x = 16320\, \mathrm{м} - 8157\, \mathrm{м}$$ $$\Delta x = 8163 \, \mathrm{м}$$
Предположим, что двигатели самолета обеспечивают постоянное ускорение.
преобразование единиц измерения: 1м = 3.3 фут , 1 миля = 1609 м
решение
$$\begin{aligned} v &= \mathrm{170\left(\frac{миль}{час}\right)\left(\frac{1609 \, м}{1 \, миль}\right)\left(\frac{1 \, час}{3600\,с}\right) = 76\,\mathrm{\tfrac{м}{с}} } \\ u &= \mathrm{rest} = 0 \\ \Delta &x = 6000\,\mathrm{фут}\scriptsize \left(\frac{1 \, \mathrm{м}}{3.3 \, \mathrm{фут} }\right)\normalsize = 1818 \, \mathrm{м} \\ a &= \,? \end{aligned}$$$$v^{2} = u^{2}+2a \Delta x$$ $$v^{2} - u^{2}=2a \Delta x$$ $$\frac{v^{2} - u^{2}}{2 \Delta x}=a$$ $$\frac{76^{2} - (0^{2})}{2 (1818)}=a$$ $$\frac{5776}{3636}=a$$ $$1.589 \, \mathrm{\tfrac{м}{с^{2}} }=a$$
Acceleration of Gravity
On Earth's surface everything is pulled down at 9.8 m/s². The rate is the same for cars, birds, puppies, apples, balloons, and everything.
Effects like air friction, thrust, and buoyancy can change the perceived acceleration of gravity. To keep things simple I will ignore these effect for the example problems.
solution
The acceleration of gravity comes from massive objects. Every planet, star, moon, and asteroid has a different surface gravity.
| name | g (m/s²) | |
|---|---|---|
|
|
Sun | 275 |
| Mercury | 3.7 | |
| Venus | 8.9 | |
| Earth | 9.8 | |
| Moon | 1.6 | |
| Mars | 3.7 | |
| Ceres | 0.27 | |
| Jupiter | 25.8 | |
|
|
Saturn | 10.4 |
|
|
Uranus | 8.7 |
| Neptune | 11.2 |
Example: Imagine a meteor 4000 m above the Moon falls from rest. What is the impact velocity of the meteor? How long does it take for the meteor to hit the surface?
solution
$$v = u+a \Delta t$$ $$\frac{v - u}{a} = \Delta t$$ $$ \frac{-113 - 0}{-1.6} = \Delta t $$ $$70.6\, \mathrm{s} = \Delta t $$
strategy
Calculate the initial velocity of the flea using the values from Earth. Use the initial velocity from Earth to calculate the jump height on Mars.
Also the velocity at the highest point on a throw is zero.
solution
Finding initial jump velocity on Earth.
Finding jump height on Mars.
2-D Motion (for constant acceleration)
Solving for 2-Dimensional motion can reuse the methods from 1-Dimension if we divide the problem up into 2 directions. We also should set the two directions to be perpendicular so that they are independent from each other. This gives each direction unrelated positions, velocities, and accelerations, but they still share the same time period.
| Δt = | |
| Δx = | Δy = |
| u = | u = |
| v = | v = |
| a = | a = |
You can organize the variables in columns for x and y with shared time.
setup
Let's make the x-direction east-west, and the y-direction north-south, like a compass. East and north will be positive, while south and west will be negative.
| Δt = 10 s | |
| Δx = ? | Δy = ? |
| u = 5 m/s | u = 3 m/s |
| v | v |
| a = -2 m/s² | a = 1 m/s² |
solution
We'll start with the north-south, y direction.
$$\Delta y = u\Delta t + \tfrac{1}{2}a \Delta t^{2}$$ $$\Delta y = (3)(10) + \tfrac{1}{2}(1)(10)^{2}$$ $$\Delta y = 30 + 50$$ $$\Delta y = 80 \, \mathrm{m}$$The east-west, x direction can use the same equation.
$$\Delta x = u\Delta t + \tfrac{1}{2}a \Delta t^{2}$$ $$\Delta x = (5)(10) + \tfrac{1}{2}(-2)(10)^{2}$$ $$\Delta x = 50 + -100$$ $$\Delta x = -50 \, \mathrm{m}$$The object moved 80 m north and 50 m west. We can also calculate the displacement with the Pythagorean theorem.
$$d^2 = x^2 + y^2$$ $$d^2 = (-50)^2 + (80)^2$$ $$d^2 = 8900$$ $$d = 94 \, \mathrm{m}$$2-D Projectile Motion
When solving for objects in free fall on the surface of the Earth you can let the x-direction be horizontal and the y-direction be vertical. This choice puts the acceleration from gravity in only the y-direction.
| Δt = | |
| ↔ horizontal | ↕ vertical |
| Δx = | Δy = |
| u = | u = |
| v = | v = |
| a = 0 | a = -9.8 m/s² |
Vectors directed down or left are negative and vectors directed up or right are positive.
setup
| Δt = | |
| Δx = ? | Δy = -1.5 m |
| u = 2 m/s | u = 0 |
| v = | v = |
| a = 0 | a = -9.8 m/s² |
solution
$$\Delta y = u\Delta t + \tfrac{1}{2}a \Delta t^2$$ $$-1.5 = 0\Delta t + \tfrac{1}{2}(-9.8)\Delta t^2$$ $$-1.5 = -4.9\Delta t^2$$ $$-4.9\Delta t^2 = -1.5$$ $$\sqrt{\Delta t^2} = \sqrt{0.31}$$ $$\Delta t = \pm 0.55$$The negative time answer is valid, but not what we are looking for.
$$\Delta t = 0.55 \, \mathrm{s}$$With this new information we can use time to solve on the horizontal side.
| Δt = 0.55 s | |
| Δx = ? | Δy = 1.5 m |
| u = 2 m/s | u = 0 |
| v = 2 m/s | v = -5.42 m/s |
| a = 0 | a = 9.8 m/s² |
Aim and click to fire. Please be careful not to hit each other.
| Δt = | |
| Δx = | Δy = |
| u = | u = |
| v = | v = |
| a = 0 | a = -9.8 m/s² |
answer
The accelerations and initial velocities stay constant. Also the final horizontal velocity is constant.
Question: Why do all the shots that land on the ground end with a negative Δy?
answer
$$\Delta y = y_f - y_i$$Δy is the vertical displacement. It measures the difference between the starting height and the ending height. It doesn't matter how high the object goes, if it starts on the ground and ends on the ground the vertical displacement is going to be zero.
The Δy is negative because the tank's turret is above ground. When the projectile ends up on the ground, it is lower then the starting point on the turret.
Question: Where on the projectile's arc is its vertical velocity zero?
answer
The vertical velocity is zero at the top of the arc, the highest point.
solution
strategy
Warning: This is a long complicated example problem. Take your time. Get organized. Some equations will be dead ends. Other equations will lead to the quadratic equation. You can avoid using the quadratic equation if you solve for the final vertical velocity before you solve for time.
Start with the 2 column structure. You already know the accelerations.
| Δt = | |
| Δx = | Δy = |
| u = | u = |
| v = | v = |
| a = 0 | a = -9.8 m/s² |
You can find the x and y part of the initial velocity with trigonometry.
You also know Δy. It's just the difference between the starting and ending point in the vertical direction. The path of the ball doesn't matter, just look at the difference.
solution
| Δt = ? | |
| Δx = ? | Δy = -2.0 m |
| u = 10 cos(60) = 5.0 m/s | u = 10 sin(60) = 8.66 m/s |
| v = ? | v = ? |
| a = 0 | a = -9.8 m/s² |
$$v = u+a \Delta t$$ $$-10.7 = 8.66+(-9.8)\Delta t$$ $$1.97 \, \mathrm{s} = \Delta t$$
$$\Delta x = u\Delta t + \tfrac{1}{2}a \Delta t^{2}$$ $$\Delta x = 5(1.97) + \tfrac{1}{2}(0)(1.97)^{2}$$ $$\Delta x = 9.85 \, \mathrm{m}$$
| Δt = 1.97 s | |
| Δx = 9.85 m | Δy = -2.0 m |
| u = 10 cos(60) = 5.0 m/s | u = 10 sin(60) = 8.66 m/s |
| v = 5.0 m/s | v = -10.7 m/s |
| a = 0 | a = -9.8 m/s² |
strategy
At first it might seem like there isn't enough information to find the vertical distance. The trick is to end the problem at the highest point on the arc which makes the final velocity 0.
solution
| Δt | |
| Δx | Δy = ? |
| u = 5 m/s | u = 8.7 m/s |
| v = 5 m/s | v = 0 |
| a = 0 | a = -9.8 m/s² |
We don't need to use any horizontal information.
$$v^2 = u^2 + 2 a \Delta y$$ $$v^2 - u^2 = 2 a \Delta y$$ $$\Delta y = \frac{v^2 - u^2}{2a}$$ $$\Delta y = \frac{(0)^2 - (8.7)^2}{2(-9.8)}$$ $$\Delta y = 3.86 \, \mathrm{m}$$solution
| Δt = ? | |
| Δx = | Δy = 0 m |
| u = | u = 150 sin(35) = 86.0 m/s |
| v = | v = |
| a = 0 | a = -9.8 m/s² |
We don't have to use the quadratic equation if we factor out time and solve two separate equations.
$$0 = \Delta t(86.0 + \small\frac{1}{2}(-9.8)\Delta t)$$ $$0=\Delta t \quad \quad 0 = 86.0 + \small\frac{1}{2}(-9.8)\Delta t$$The solution of zero time is technically correct, but not interesting.
$$0 = 86.0 + \small\frac{1}{2}(-9.8)\Delta t$$ $$-86.0 = -4.9\Delta t$$ $$\Delta t = 17.6 \, \mathrm{s}$$In this simulation we can fire boxes at a wall. Use 2-D kinematics calculations to predict what height the gap in the wall should be to let a box through.
We need to send a box through the gap in the wall again. This time we can change the initial vertical velocity to get it through.